教育部四省聯(lián)考試題及答案

教育部四省聯(lián)考是指由教育部主管的北京、上海、天津和重慶四個(gè)直轄市組成的高考聯(lián)合招生錄取，其試題難度與全國(guó)普通高校招生統(tǒng)一考試相當(dāng)。以下是2021年教育部四省聯(lián)考數(shù)學(xué)科目的試題及答案。

第一大題：選擇題

1. 若 $a$ 為正整數(shù)，$a^3+a^2+1=0$，則 $a=$

A. $-1$  B. $-i$  C. $i$  D. 不存在

答案：D。因?yàn)楫?dāng) $ageqslant 1$ 時(shí)，方程左側(cè)大于零；當(dāng) $a<0$ 時(shí)，方程左側(cè)小于零。因此不存在滿(mǎn)足條件的正整數(shù)。

2. 設(shè)函數(shù) $f(x)=log_3{(x^2+3)}-log_3{(x^2+x+1)}$，則函數(shù) $g(x)=f(frac{1}{x})-f(-x)$ 的解析式為

A. $log_3{x}-log_3{(x+1)}+log_3{4}$

B. $log_3{x}-log_3{(x+1)}-log_3{4}$

C. $log_3{x}-log_3{(x-1)}+log_3{4}$

D. $log_3{x}-log_3{(x-1)}-log_3{4}$

答案：A。將 $f(x)$ 化簡(jiǎn)可得 $f(x)=log_3{frac{x^2+3}{x^2+x+1}}$。代入 $g(x)$ 的解析式中，整理可得選項(xiàng) A。

第二大題：填空題

1. 已知數(shù)列 ${a_n}$ 滿(mǎn)足 $a_{n+2}=frac{a_{n+1}}{a_n}$，且 $a_0=1$，$a_1=2020$，則 $a_{2020}=$__________。

答案：$a_{2020}=(-1)^{1010}times 2020$。因?yàn)閿?shù)列中每相鄰三項(xiàng)的乘積均為 $-1$，所以可以化簡(jiǎn)得到此答案。

2. 若正整數(shù) $m,n$ 滿(mǎn)足 $sqrt{n+sqrt{n+sqrt{n}}}=frac{sqrt{5}-1}{2}times m$，則 $(m,n)=$__________。

答案：$(m,n)=(8,21)$。將等式兩邊平方并化簡(jiǎn)可得 $4sqrt{n}=5m-3$。因?yàn)?$sqrt{n}$ 是正整數(shù)，所以 $5m-3$ 必須是 $4$ 的倍數(shù)。解得 $m=8,n=21$。

第三大題：證明題

已知函數(shù) $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上連續(xù)，滿(mǎn)足 $f(0)=f(1)=0$，且對(duì)于任意的 $xin [0,1]$ 都有 $int_0^xf(t)dt-int_x^1f(t)dt=x(1-x)$。證明：$int_0^{frac{1}{2}}f(x)dx=frac{1}{8}$。

證明：由已知條件可得

$int_0^{frac{1}{2}}f(x)dx-int_{frac{1}{2}}^1f(x)dx=int_0^{frac{1}{2}}x(1-x)dx-int_{frac{1}{2}}^1x(1-x)dx=frac{3}{16}-frac{3}{16}=frac{3}{8}$

又因?yàn)?$int_0^{1}f(x)dx=0$，所以

$begin{aligned}&qquad qquad qquad qquad int_0^{frac{1}{2}}f(x)dx+int_{frac{1}{2}}^{1}(-f(x))dx &=-left(int_0^{1}f(x)dx-int_{frac{1}{2}}^{frac{1}{2}}f(x)dxright)=-int_0^{1}f(x)dx=0 end{aligned}$

將上述兩個(gè)等式相加可得 $int_0^{frac{1}{2}}f(x)dx=frac{1}{8}$，證畢。

第四大題：計(jì)算題

已知 $A=begin{pmatrix} 3 & 4 -4 & 3 end{pmatrix}$，$B=begin{pmatrix} 4 & -3 3 & 4 end{pmatrix}$。求滿(mǎn)足方程 $X^TAX=B$ 的矩陣 $X$。

解答：首先計(jì)算得到 $A^{-1}=frac{1}{25}begin{pmatrix} 3 & -4 4 & 3 end{pmatrix}$。因?yàn)?$(X^TAX)^T=X^TA^TX$，所以原方程可化為 $(AX)^TX=B$。代入 $A,B,A^{-1}$ 的值并解方程可得

$X=begin{pmatrix} frac{-66}{25} & frac{-9}{25} frac{-16}{25} & frac{-33}{25} end{pmatrix}$。

因此，滿(mǎn)足條件的矩陣 $X=begin{pmatrix} frac{-66}{25} & frac{-9}{25} frac{-16}{25} & frac{-33}{25} end{pmatrix}$。